سری‌ های توانی

سری های توانی

در اینآموزش ریاضی دودلتاپی، به سراغ یادگیری سری‌های توانی می‌رویم.

یک سری به صورت را یک سری توانی به مرکز ۰ می‌گوییم. اکنون اگر عدد یک عدد حقیقی باشد, سری زیر را یکسری توانی به مرکز می‌نامیم.

نکته: برای سادگی کار, حتی در زمانی که است, فرض می‌کنیم که

قضیه:

اگر سری توانی به ازای عدد ناصفر همگرا باشد, آنگاه به ازای هر مقدار از که همگرا یا همگرای مطلق است.

اگر سری توانی به ازای عدد ناصفر همگرا باشد, آنگاه به ازای هر مقدار از که واگراست.

قضیه:

اگر سری توانی یک سری توانی باشد, آنگاه دقیقا یکی از حالت‌های زیر رخ خواهد داد:

۱) این سری تنها به ازای همگراست.

۲) این سری به ازای هر مقدار همگرا یا همگرای مطلق است.

۳) عدد مثبت وجود دراد به طوری که سری فوق همگرای مطلق است اگر و واگراست اگر داشته باشیم.

اگر به جای سری توانی, سری توانی را درنظر بگیریم, آنگاه با قرار دادن درحالت‌های ۱ و ۳ قضیه قبل, این احکام به صورت زیر تبدیل می‌شوند:

۱) این سری تنها به ازای همگراست.

۳) عدد مثبت وجود دراد به طوری که سری فوق همگرای مطلق است اگر و واگراست اگر داشته باشیم.

تعریف:

عدد مذکور در قضیه قبل و در تذکر زیر آن را شعاع همگرایی سری توانی گوییم. اگر حالت ۱ رخ دهد, و اگر حالت ۲ صادق باشد, شعاع همگرایی را تعریف می‌کنیم. مجموعه همه مقادیر را که به ازای آن‌ها سری توانی داده شده همگراست,بازه همگرایی آن سری می‌گوییم.

مشتق گیری و انتگرال گیری از سری‌های توانی

قضیه مشتق گیری سری‌های توانی:

اگر یک سری توانی با شعاع همگرایی باشد آنگاه خواهیم داشت:

الف) شعاع همگرایی سری , که حاصل از مشتق‌گیری جمله به جمله سری داده شده است, برابر است.

ب) به ازای هر مقدار در بازه خواهیم داشت:

اگر چه قضیه مشتق‌گیری سری‌های توانی بیان می‌کند که شعاع‌های همگرایی دو سری توانی و یکسان هستند, ولی نمی‌توان نتیجه گرفت که بازه‌های همگرایی آن‌ها نیز یکی است. به عنوان مثال بازه همگرایی برابر است با درحالی که بازه همگرایی سری مشتق آن یعنی برابر است با.

تذکر

اگرچه قضیه مشتق‌گیری بیان می‌کند که مشتق سری توانی , با شعاع همگرایی ناصفر, وجود دارد ولی چون سری مشتق شده خود یک سری توانی با همان شعاع همگرایی است, از این سری نیز می‌توان مشتق گرفت و درنتیجه سری داده شده دوبار مشتق پذیر است. با تکرار این روند نتیجه می‌گیریم که همه مشتق‌های یکسری توانی با شعاع همگرایی در بازه وجود دارند.